1　导轨副载荷计算

1.1　力和力矩的关系
　　如图1所示，以两根导轨四滑块工作台为例，并设定X、Y、Z坐标系；力的分量在垂直于X轴的平面内，系统上作用有如下五种力及力矩载荷；
　　(1)F_y：垂直载荷；(2)F_z：水平载荷；(3)M_z：颠覆力矩；(4)M_x：摆动力矩；(5)M_y：摇动力矩；为分析简便，视工作台和导轨、滑块除沟槽部分外的结构均为刚体。设置坐标原点于O。

图1　承受力及力矩的工作台系统

图2　力的简化示意图

　　对于力载荷可采用等效处理法，其原理如图2所示；对于力矩作用无需进行简化。
1.2　滑块反力计算
　　如图1。设K为滑块编号，它在Y轴及Z轴方向的各反力为：F_ryk、F_rzk，如式(1)～(8)。
　　(1)滑块K=1

      (1)

      (2)

　(2)滑块K=2

      (3)

       (4)

　　(3)滑块K=3

      (5)

      (6)

　　(4)滑块K=4

      (7)

      (8)

1.3　工作台的位移计算
　　工作台的位移形式如图3所示。对应于力和力矩的作用可分为以下五种分量，即：
　　(1)α₁=Y轴方向的位移；(2)α₂=颠覆角；(3)α₃=摆动角；(4)α₄=Z轴方向的位移；(5)α₂=摇动角；工作台上任意点M(x、y、z)在Y轴及Z轴方向的位移设为δ_y、δ_z，可用下式表示：
δ_y=α₁+α₂x+α₃z      (9)

δ_z=α₄+α₅x-α₃y      (10)

1.4　静不定系滑块反力
　　在静不定系中，对应于外载荷及力矩作用时的位移分量有α₁～α₅作为未知数，给与适当的初始值，由数值方法可求得各滑块内各钢球的弹性变形及载荷。
　　为提高运动精度以及使用承受负荷的有效钢球数尽可能的多，滑块沟槽两端设计有半径为R的过渡曲线，如图4。因此必须考虑过渡曲线对载荷及弹性变形的影响。计算按以下选取宽度X_r、λ_c^〔3〕:
X_r=3Da;λ_c=0.002Da；

图3　工作台位移形式

图4　沟槽表面与钢球配合状态

　　在过渡曲线上不同点给予钢球的间隙λ_x是不同的，参照文献〔3〕可按以下式计算：
λ_x=R(1-cosθ)
｜X_z｜｜U_x-X_r｜      (11)

　　图5表示在导轨上一侧K滑块，j列沟槽、钢球i的弹性变形δ_ijk及分布载荷P_ijk的状态。当工作台上没有作用外载荷时，滑块及球用虚线表示，导轨和滑块沟槽的曲率中心点及钢球中心点分别以A_r、A_g、O表示；导轨视为不能移动，因此工作台按式(9)(10)作δ_y、δ_z移动，点A_g移至A_g′，初始接触角γ变成β_ijk，钢球的弹性变形δ_ijk可表示如下，即：

　　则第k个滑块第j列沟槽第i个钢球上的弹性变形可如下表示：

式中：λ为预紧力即过盈量，f为沟槽曲率比，f=R/Da，λ_x由式(11)定，V_y、V_x是承载后滑块沟槽圆弧与导沟槽圆弧曲率中心间距在Y、Z方向的投影值。
　　C_b为赫兹系数，其计算可参考文献〔1〕，钢球的接触角为β_ijk，由赫兹弹性接触理论及图5可得：
P_ijk=C_bδ_ijk^3/2      (13)

　　以整个滑块工作台为研究对象，对于原点O由力及力矩平衡条件，可得下面的方程式，即

      (15)

       (16)

      (17)

      (18)

式中F_jk为：对于导轨1；F_1k=F_2k=-1;F_3k=F_4k=1;对于导轨2：F_1k=F_2k=1;F_3k=F_4k=-1;A_ijk为原点至P_ijk作用点的臂长，A_ijk=Z_rsinβ_ijk-Y_rcosβ_ijk，式中Z_r、Y_r为导轨沟槽曲率中心；根据以上理论，五个位移量α₁～α₅作为未知数，由式(15)～(19)用Newton-Rupson法可以求解此非线性方程组。

2　寿命、可靠性

2.1　额定寿命及可靠性分析

图5　沟槽、钢球弹性变形及载荷分布

图6　k滑块上某钢球的变形状况

　　(1)寿命分布
　　滚动直线导轨的寿命分布为一组装置在同一条件下运转，累积破损率F(L)和寿命值L的关系。据有关文献^〔2〕其寿命分布为威布尔分布，即

式中L＞0，m＞0，η＞，三个参数具体含义如下：
m：形状参烽或威布尔斜率；η：尺寸参数；γ：位置参数或最小寿命；
m值：对于钢球m=10/9；对于滚柱m=9/8或3/2。
尺寸参数η：具有当寿命值L——γ为η的时候，分布函数F(L)=0.63的特征。
　　额定动载荷C和作用于装置上的载荷F之间以P作为载荷的加速指数，有如下关系：

　　位置参数γ为装置不发生剥离破损的最小寿命，一般为滚动轴承的90%额定寿命L₁₀的5%左右，其具体取值尚无文献可参考，因此一般可将γ=0处理；但是，进行试件的寿命实验时与载荷作用的大小有关，为此必须设置γ值；为此进行寿命分析时包括γ=0的三参数威布尔进行说明。图7表示寿命值L和概率密度函数f(L)的关系及累积分布函数F(L)和可靠度R(L)的关系。这些图平等地移动L=0处即为γ=0的情况。

图7　概率密度函数、累积分布函数、可靠度

　　(2)额定寿命
　　作用于装置上的径向载荷为F时，90%的存在率即可靠性为90%装置的残余寿命值L₁₀，以下式表示：

式中：p=3　单位：50km(滚动体为钢球)
p=10/3　单位：100km(滚动体为滚柱)
　　破损率(F(L)为n%，由式(20)、(21)、(22)可得任意可靠度R(L)=1-F(L)=1-n%的寿命值：

　　(3)LG系统寿命
　　图1表示的LG系统装置，可由概率计算系统的寿命L_n，L_n(k)为各滑块的寿命
L_n=L_n(1)^-m+L_n(2)^-m+…       (24)

2.2　计算实例
　　例1：额定动载荷为C=3800kgf的导轨副上作用有径向载荷750kgf时，求额定寿命及50%寿命，此时最小寿命尚未知，假设为0。
　　解：由式(22)、(23)并取m=10/9、p=3得

　　通过此例可知，在相同工况下，50%可靠度的寿命值为可靠度为90%寿命的5.45倍。
　　例2：如图1所示求LG系统的90%寿命，其中外载荷作用在滑块K=1的中心。并且工作不受冲击、安装误差很小。1_x=1_z=125mm，径向作用力F_y=1000kgf。
　　解：利用所编程序计算静不定系各滑块的反力结果如下：
　　F_ry1=739kgf,F_ry2=255kgf,F_ry3=-253kgf,F_ry4=249kgf;
　　F_rz1=-8.8kgf,F_rz2=-6.5kgf,F_rz3=6.3kgf,F_rz4=9.1kgf;
　　由此可知各滑块上的载荷分布不均以及Z轴方向也有若干反力，因此有必要考虑安全系数^〔3〕S_t=1～2，此时取1.2。
　　额定动载荷计算　C₁=C₂=C₃=C₄=3800/1.2=3167kgf
　　各滑块90%额定寿命为
　　L₁₀(1)=(3167/739)³=78.7×50=3935km
　　L₁₀(2)=(3167/255)³=1916×50=9784km
　　L₁₀(3)=(3167/253)³=1961×50=78074km
　　L₁₀(4)=(3167/249)³=2058×50=102876km
　　由式(24)并取m=10/9可得此时系统整体寿命
　　L₁₀=(1.0976×10^-4)^-0.9=3660km
　　因此当此系统有100台时，其中10个达到剥离寿命，运行距离为3660km，比系统内最小的滑块K=1的寿命值3935km还小的寿命值是可以预测的。

3　结论

　　对滚动直线导轨副的载荷及寿命计算作了较为全面的推导，可为对滚动直线导轨作更深入全面的研究提供理论依据。